3ª Lista

Considere um sistema de duas partículas, cada uma podendo ocupar um dos três estados de níveis $0, \epsilon, 3 \epsilon$, em contato com um banho térmico na temperatura $T$. Escreva as funções partição se as partículas forem distinguíveis, bósons e férmions.

A partir da relação termodinâmica $T dS = dE + p dV$ para um gás de fótons, considerando $E=uV$ e $p=1/3\, u$, escreva $dS$ em termos de $dT$ e $dV$. Encontre $(\partial S/\partial T)_V$ e $(\partial S/\partial V)_T$. A partir de $(\partial^2 S/\partial V\partial T)=(\partial^2 S/\partial T\partial V)$, encontre a equação diferencial que pode ser integrada para encontrar $u\propto T^4$.

Encontre $\overline{v_x},\overline{v^2_x}$ para um gás de Fermi, em $T=0$. Encontre $\overline{E}$. Escreva $\overline{E}$ em termos de $\mu$. A partir de $\overline{E}$, obtenha a pressão média de um gás de Fermi confinado em um volume V.

O grande potencial termodinâmico $\Phi$ é definido como $\Phi = -k_BT \ln \cal{Z}$. Escreva $\Phi$ em função da ocupação, para bósons e férmions. Encontre a expressão da entropia de um gás ideal em função da ocupação.

Mostre que não é possível obter a condensação de Bose-Einstein em duas dimensões.

Encontre o número de fótons, por unidade de volume, no espaço, considerando $T=3K$. A integral ($\int_0^\infty dx\; x^2/(e^x -1)$) pode ser aproximada por 2.4.

Calcule a energia média por partícula, para um gás ideal de férmions não relativísticos e ultrarrelativísticos, em função da energia de Fermi, em $T=0$.

Encontre a expressão equivalente à lei de Stefan-Boltzmann para um espaço de $D$ dimensões.